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Minesweeper: die Teilmengenregel

Manchmal zählen zwei Zahlen Minen in denselben Feldern. Eine Zahl zählt aber noch weitere Felder mit. Vergleiche die Minenzahlen beider Gruppen. So findest du heraus, was in den zusätzlichen Feldern liegt. Das heißt Teilmengenregel.

Schritt für Schritt im Bild

Zwei Einsen stehen oben links und oben in der Mitte eines Ausschnitts mit zwei Reihen und drei Spalten. Darunter liegen die verdeckten Felder A und B. Rechts liegen C oben und D unten. Die linke 1 zählt A und B. Die mittlere zählt zusätzlich C und D. A und B unter den Einsen enthalten zusammen eine Mine. Die mittlere 1 zählt dieselbe Mine und zusätzlich C und D rechts. Für C und D gilt deshalb 1 − 1 = 0. Beide sind sicher. C oben rechts und D unten rechts sind aufgedeckt und zeigen jeweils eine 1. A unten links und B unten in der Mitte bleiben verdeckt. Die neuen Einsen zeigen nun: B enthält eine Mine, A ist sicher.
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Beispiel auf dem Spielfeld

Die linke 1 zählt Minen in A und B unter ihr. Die mittlere 1 zählt Minen in A, B, C und D. C liegt oben rechts, D unten rechts. Das sind alle noch unbekannten Nachbarfelder der beiden Zahlen.

Vorher

Zwei Einsen stehen oben links und oben in der Mitte eines Ausschnitts mit zwei Reihen und drei Spalten. Darunter liegen die verdeckten Felder A und B. Rechts liegen C oben und D unten. Die linke 1 zählt A und B. Die mittlere zählt zusätzlich C und D.

Nachher

C oben rechts und D unten rechts sind aufgedeckt und zeigen jeweils eine 1. A unten links und B unten in der Mitte bleiben verdeckt. Die neuen Einsen zeigen nun: B enthält eine Mine, A ist sicher.

So ergibt sich die Lösung

In A und B liegt die eine Mine, die beide Zahlen zählen. Für C und D bleiben 0 Minen übrig. Beide sind sicher. Ob die Mine in A oder B liegt, ist noch unklar. Im Beispiel zeigen C und D nach dem Aufdecken jeweils eine 1. Diese neuen Zahlen zeigen dann, dass die Mine in B liegt.

A und B unter den Einsen enthalten zusammen eine Mine. Die mittlere 1 zählt dieselbe Mine und zusätzlich C und D rechts. Für C und D gilt deshalb 1 − 1 = 0. Beide sind sicher.

Die Regel

Ziehe zuerst bereits erkannte benachbarte Minen von jeder Zahl ab. Vergleiche dann die noch unbekannten Felder. Die größere Gruppe muss jedes Feld der kleineren enthalten. Ziehe die Minenzahl der kleinen Gruppe von der Minenzahl der großen Gruppe ab. Das Ergebnis zeigt, wie viele Minen in den zusätzlichen Feldern liegen.

Das musst du prüfen

Prüfe auch die Felder schräg neben den Zahlen. Jedes Feld der kleinen Gruppe muss zur großen gehören. Zähle nur sicher erkannte Minen. Du kannst sichere Felder finden, auch wenn die genaue Lage einzelner Minen noch unklar ist.

Gruppen abziehen: vom einfachen Vergleich zu 2-1-2

Eine Teilmenge ist eine Gruppe, deren Felder alle auch zu einer anderen Gruppe gehören. Zählen beide Gruppen gleich viele Minen, sind die zusätzlichen Felder sicher. Zählt die größere mehr, liegt die Differenz in ihren zusätzlichen Feldern. Du kannst auch überlappende Gruppen vergleichen. Über 2-1-2 liegen fünf unbekannte Felder A bis E. Die mittlere 1 zählt B + C + D = 1. Die linke 2 zählt A + B + C = 2. Das Abziehen ergibt A − D = 1: A ist eine Mine, D sicher. Rechts ergibt derselbe Vergleich E − B = 1: E ist eine Mine, B sicher. Für die mittlere 1 bleibt die Mine in C. So folgen Minen in A, C und E sowie sichere Felder in B und D aus den Gruppen.

Prüfe das Spielfeld und wähle deinen Zug

Ziehe die kleine Gruppe nur ab, wenn alle ihre verdeckten Felder auch zur großen Gruppe gehören. Gilt A + B = 1 und A + B + C = 2, folgt C = 1. Sind die verbleibenden Minenzahlen beider Gruppen gleich, sind die zusätzlichen Felder sicher.

Der Ausschnitt besteht aus zwei Reihen und drei Spalten. Oben sind A, B und C verdeckt. Unten links steht eine 1, in der Mitte eine 2. Rechts daneben ist ein aufgedecktes Feld oder der Spielfeldrand ausgelassen. Die Gruppe A und B gehört zu beiden Zahlen und enthält eine Mine. Die 2 zählt zusätzlich C und braucht eine zweite Mine. Daher enthält C eine Mine. Alle drei Felder bleiben verdeckt. Welches Feld in A und B die andere Mine enthält, bleibt unbestimmt.

Wähle ein verdecktes Feld. Entscheide dann: sicher, Mine oder nicht bestimmbar.

A
B
C
So ergibt sich die Antwort

A: Nicht bestimmbar · B: Nicht bestimmbar · C: Mine

Nur die gezeigten verdeckten Felder gehören zu diesen Zahlen. Lücken stehen für aufgedeckte Bereiche oder den Spielfeldrand. Prüfe jedes Nachbarfeld, bevor du die Lösung anwendest. Flaggen markieren in diesen Beispielen bereits sicher erkannte Minen.

Prüfe das Spielfeld und wähle deinen Zug

Über 2-1-2 sind nur A–E verdeckt. Die mittlere Zahl ergibt B + C + D = 1. Die linke 2 ergibt A + B + C = 2. Daraus folgt A − D = 1. Also enthält A eine Mine und D ist sicher. Mit der rechten 2 folgt: E enthält eine Mine und B ist sicher. Die übrige Mine liegt in C.

Der Ausschnitt hat zwei Reihen und fünf Spalten. Oben liegen die verdeckten Felder A bis E. Darunter stehen 2, 1 und 2 in den mittleren Spalten. Die äußeren Stellen unten sind ausgelassene aufgedeckte Felder oder Spielfeldrand. Links gilt A + B + C = 2, in der Mitte B + C + D = 1. Der Vergleich ergibt eine Mine in A und ein sicheres D. Rechts folgen eine Mine in E und ein sicheres B. Die verbleibende Mine liegt in C. Alle fünf Felder bleiben verdeckt.

Wähle ein verdecktes Feld. Entscheide dann: sicher, Mine oder nicht bestimmbar.

A
B
C
D
E
So ergibt sich die Antwort

A: Mine · B: Sicher · C: Mine · D: Sicher · E: Mine

Nur die gezeigten verdeckten Felder gehören zu diesen Zahlen. Lücken stehen für aufgedeckte Bereiche oder den Spielfeldrand. Prüfe jedes Nachbarfeld, bevor du die Lösung anwendest. Flaggen markieren in diesen Beispielen bereits sicher erkannte Minen.

Prüfe das Spielfeld und wähle deinen Zug

Das zusätzliche verdeckte Feld neben der rechten 1 ändert die Lösung. Prüfe alle Nachbarfelder, bevor du ein bekanntes Muster anwendest.

Drei Reihen mit drei Spalten zeigen oben die verdeckten Felder A, B und C. Darunter steht 1, 2, 1. D unten rechts ist zusätzlich verdeckt. Unten links und unten in der Mitte sind aufgedeckte Felder oder Spielfeldrand ausgelassen. Die mittlere 2 zählt A, B, C und D; die rechte 1 nur B, C und D. Daher enthält A eine Mine. Die linke 1 macht B sicher. In C und D liegt zusammen eine Mine. Beide bleiben einzeln unbestimmt; alle vier Felder bleiben verdeckt.

Wähle ein verdecktes Feld. Entscheide dann: sicher, Mine oder nicht bestimmbar.

A
B
C
D
So ergibt sich die Antwort

A: Mine · B: Sicher · C: Nicht bestimmbar · D: Nicht bestimmbar

Nur die gezeigten verdeckten Felder gehören zu diesen Zahlen. Lücken stehen für aufgedeckte Bereiche oder den Spielfeldrand. Prüfe jedes Nachbarfeld, bevor du die Lösung anwendest. Flaggen markieren in diesen Beispielen bereits sicher erkannte Minen.

Prüfe das Spielfeld und wähle deinen Zug

Die 1 grenzt an A und B. Es gilt A + B = 1. Die Mine kann in einem der beiden Felder liegen. Welches Feld sicher ist, bleibt unklar. Wähle für beide Felder „Nicht bestimmbar“.

Der Ausschnitt hat zwei Reihen und zwei Spalten. Oben liegen zwei verdeckte Felder A und B. Darunter stehen zwei Einsen. Jede 1 grenzt an dieselben beiden verdeckten Felder; weitere unbekannte Nachbarn gibt es nicht. Es gibt keine Flaggen oder ausgelassenen Stellen. Zusammen enthalten A und B genau eine Mine. Diese kann in A oder in B liegen. Die Zahlen unterscheiden die beiden Möglichkeiten nicht. Deshalb bleibt jedes der beiden Felder logisch unbestimmt und im Bild verdeckt.

Wähle ein verdecktes Feld. Entscheide dann: sicher, Mine oder nicht bestimmbar.

A
B
So ergibt sich die Antwort

A: Nicht bestimmbar · B: Nicht bestimmbar

Nur die gezeigten verdeckten Felder gehören zu diesen Zahlen. Lücken stehen für aufgedeckte Bereiche oder den Spielfeldrand. Prüfe jedes Nachbarfeld, bevor du die Lösung anwendest. Flaggen markieren in diesen Beispielen bereits sicher erkannte Minen.

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